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如何在 C 语言中直接计算 float 的取值范围？

数据小许

实际编程时，可以用 <float.h> 中的宏获取当前实现的 float 范围。做练习时，也可以根据浮点表示的底数、有效位数和指数范围推导边界。无符号整数反复乘 2、等待回绕的方法，不能直接用于浮点数。

先明确“最小值”指什么

浮点数有几个容易混淆的边界：

边界含义
FLT_MAX最大有限正数
-FLT_MAX最负的有限值
FLT_MIN最小正规正数
FLT_TRUE_MIN最小非零正数，C11 起提供

有限值的上下界是 [-FLT_MAX, FLT_MAX]，但区间内只有离散的数能被精确表示。注意，FLT_MIN 是最小正规正数，不是最负的 float。

支持 subnormal（非正规数）时，FLT_TRUE_MIN 小于 FLT_MIN；没有非正规数时，两者相等。

#include <float.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    printf("lowest finite float: %.*g\n", DECIMAL_DIG, -(double)FLT_MAX);
    printf("largest finite float: %.*g\n", DECIMAL_DIG, (double)FLT_MAX);
    printf("smallest positive normal: %.*g\n", DECIMAL_DIG, (double)FLT_MIN);

#ifdef FLT_TRUE_MIN
    printf("smallest positive value: %.*g\n", DECIMAL_DIG, (double)FLT_TRUE_MIN);
#endif

    return 0;
}

示例使用了 C99 起提供的 DECIMAL_DIG。通过 ... 传给 printf 时，float 本来就会提升为 double，这里的转换只是把类型写清楚。

根据浮点表示计算边界

C 不要求所有实现都把 float 定义成 IEEE754 binary32，因此不能只凭类型名称就假定它有 32 位。

对于 C 的浮点模型，设：

  • b = FLT_RADIX：表示使用的底数。
  • p = FLT_MANT_DIG：有效数字位数，按底数 b 计。
  • emin = FLT_MIN_EXP。
  • emax = FLT_MAX_EXP。

边界公式为：

[ \mathrm{FLT_MAX}=(1-b^{-p})b^{emax} ]

[ \mathrm{FLT_MIN}=b^{emin-1} ]

如果实现支持该格式的渐进下溢，最小非正规正数为：

[ b^{emin-p} ]

这些公式可用于推导边界。在程序中直接计算时，要留意中间结果的类型。例如，先计算 b^emax，结果可能已经超出 float 的有限范围。

IEEE754 binary32 的具体结果

如果明确采用 IEEE754 binary32，正规数有 24 位二进制有效数字，包括隐含的最高位；正规数的无偏指数范围是 -126 到 127。

最大有限值由最大的有效数字和最大的有限指数得到：

[ \mathrm{FLT_MAX}=(2-2^{-23})2^{127} \approx 3.402823466\times10^{38} ]

最小正规正数为：

[ \mathrm{FLT_MIN}=2^{-126} \approx 1.175494351\times10^{-38} ]

最小非正规正数为：

[ \mathrm{FLT_TRUE_MIN}=2^{-149} \approx 1.401298464\times10^{-45} ]

在通常使用 binary32 的 float 和 binary64 的 double、并保留非正规数的环境中，可以这样演示计算：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    float largest = (float)ldexp(2.0 - ldexp(1.0, -23), 127);
    float smallest_normal = (float)ldexp(1.0, -126);
    float smallest_positive = (float)ldexp(1.0, -149);

    printf("largest: %.9g\n", (double)largest);
    printf("smallest normal: %.9g\n", (double)smallest_normal);
    printf("smallest positive: %.9g\n", (double)smallest_positive);

    return 0;
}

ldexp(x, n) 计算 x * 2^n。这段代码根据已知的表示参数计算边界，其中的常量不能直接套用到其他浮点格式。

为什么不建议循环乘 2，直到浮点数溢出

无符号整数遵循模运算规则，达到边界后可以回绕。浮点数不按这套规则运行。

在常见 IEEE754 环境中，反复乘 2 可能最终得到正无穷，但这种溢出探测方法并不适用于所有 C 实现，结果还可能受到浮点异常和编译选项的影响。而且，反复乘 2 只能生成 2 的整数次幂，得不到有效位全为 1 的最大有限值。

如果练习要求不用 <float.h>，应明确允许假设哪一种浮点表示。已知采用 IEEE754 binary32 时，可以按上述公式计算；如果要求适用于所有 C 实现，就不能直接写死这些参数。

ui_max + 1 为什么会回绕

当 ui_max 是 unsigned int 时：

ul_max = ui_max + 1;

加法先按 unsigned int 的规则计算，结果再赋给 ul_max。若 ui_max == UINT_MAX，加法结果已经回绕为 0，后面的赋值无法恢复它。

应在加法之前转换到能够容纳结果的类型。例如，只有在 unsigned long 的范围确实更大时，下面的写法才成立：

#include <limits.h>

#if ULONG_MAX > UINT_MAX
unsigned long next_after_uint = (unsigned long)UINT_MAX + 1UL;
#endif

原代码的 (long)ui_max + 1 也有前提：long 必须能够表示转换值以及加法结果。C 不保证 long 的范围一定大于 unsigned int。

short 部分表现不同，通常与 integer promotions 有关：unsigned short 在运算前可能提升为 int，而 unsigned int 不会这样提升。具体行为取决于各类型的范围。另外，将超出目标有符号类型范围的无符号值赋给有符号变量，也不能作为通用的范围推导方法。核对整数边界时，应使用 <limits.h> 中对应的宏。

备注：内容仅供参考。